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LLT低延迟趋势线滤波基础概念讲解测试
本文来源于:量化投资训练营微信公众号

第一次了解到LLT低延迟趋势线,是在广发证券的研报《低延迟趋势线与交易性择时》,可惜并没完全看懂之后,搁置了测试工作。最近进过通信工程专业的团队成员金鑫讲解后,加上自己的测试后,有一些感触,促成此文。


1、高频,低频,高通,低通


证券价格波动,可以被看成是通信信号,信号中的“波”又是一个非常广泛的物理概念,在电子技术领域,“波”被狭义地局限于特指描述各种物理量的取值随时间起伏变化的过程


很多量化机构在此方面的研究极为深刻。文艺复兴科技公司的创始人詹姆斯·西蒙斯也雇用了一些语音学家,包括贝尔试验室的著名科学家彼得.韦恩伯格,并从IBM公司招募了部分熟悉语音识别系统的员工,他说:“交易员和语音识别的工作人员有相似之处,他们总是在猜测下一刻会发生什么。”


如图:我们将上证指数分解成低频和


在通信领域,通过高频和低频区分信号是最简单的方式。按照电气和电子工程师学会(IEEE)制定的频谱划分表,低频频率为30~300kHz,中频频率为300~3000kHz,高频频率为3~30MHz,频率范围在30~300MHz的为甚高频,在300~1000MHz的为特高频。相对于低频信号,高频信号变化非常快、有突变;低频信号变化缓慢、波形平滑。


抽象到图形处理和投资领域:低频信息是变化缓慢的部分,是图像的框架,也是轮廓,占全部信息的大部分;高频信息是变化迅速的部分(如从黑色跳变到白色),它反映的是图像的细节信息,占全部信息的小部分。


比如说之前我们讲解过的小波分析,把图像分解为两部分:低频信息+高频信息。然后高频信息部分再分解为两部分:低频+高频。然后可以继续分解高频信息。


你想到了什么?对!过滤掉小部分干扰信息(高频),保留价格运行的主趋势(低频),我们构造一个低通滤波器(允许低频信号通过),就可以完成趋势判定工作。


四种常见滤波器:高通、低通、带通、带阻


LLT低延迟趋势线,就是这样一个二阶低通滤波器,这是它的物理本质。今天要说的低通滤波(Low-pass filter) 是一种过滤方式,规则为低频信号能正常通过,而超过设定临界值的高频信号则被阻隔、减弱。它有的时候也被叫做高频去除过滤(high-cut filter)滤波器。


如上图:低通过滤的概念存在于各种不同的领域,诸如电子电路,数据平滑,声学阻挡,图像模糊等领域经常会用到。理想中的低通滤波器是:在通带内理想滤波器对各次频率的信号放大倍数为1,在阻带内理想滤波器对各次频率的信号放大倍为0。


通俗的解释是:如果是低频信号过来,输入信号X1被乘以1,不变,通过滤波器。如果是高频信号过来,输入信号X2被乘以0,完全删除掉,过不去。理想滤波器的特性使通带信号无失真通过,而阻带信号完全被抑制。



上图我们看到:X轴是频率,左侧是x轴频率低的地方,是一个低通滤波器,右侧是高通滤波器。理想滤波器是,所有信号在滤波器内,和1相乘,都被保留下来了,外面的和0相乘,都没了。但是实际生产中,我们找不到这样一个滤波器,你可能找到的是慢慢衰减的,更实际的一个滤波器。


物理中的滤波器就是电容电感组成的一系列电源,常见的就是R电阻和C电容构成的RC低通滤波。连接无数个这样东西,就可以一阶一阶递增,也就是构造二阶、三阶、四阶滤波器。我们这篇文章研究的是数字信号处理,计算机只能处理离散的数字,无法处理连续数字,所以我们不用管。


所谓理想滤波器是什么?理想滤波器是一个窗函数。在工业生产中,你永远找不到这样一个函数。就像微积分,你永远找不到这样一个无限小的数。右上角图的圆圈地方,就是计算机能够响应的最小区间,这是最小分辨率,是生产不出来的。



2、其实你一直在用滤波器(均线)交易


EXPMA均线,其实就是一种典型的滤波器(有没有感觉到,自己其实在用着这么高大上的东西,还没好好赚钱……)我们首先建立一个概念,EMA也是一个一阶低通滤波器,平均数MA也是一种滤波,它把高频分量去掉,曲线更平滑,本质上就是滤波


EMA是一个无限冲击脉冲响应IIR滤波器(infinite impulse response filter),是一个比MA均线更好的滤波器。进一步理解,AMA均线就是一个可变参数的IIR滤波器(因为AMA实际上是一个递推计算的EMA)。


EMA因为有一个参数alpha,我们可以去控制,比MA更好地实现了对滤波的控制。在时间序列分析中,特别是股票期货,我们常用天数d,2/d+1,从通信领域来讲,我们应该更加关注alpha。


补充一下,我们经常看到上图:左侧的Y轴从1开始,X轴最后到0.5结束。这是因为通信原理的奈奎斯特定理,比如当采样信号率是10Hz的时候,被采样的信号率最大不会超过5Hz,这个图叫做频率响应曲线图,正常的滤波器就是这样慢慢下来的,这就是EMA低通滤波器。


广发证券的研报中,将EMA均线定义为滤波器H1,那么我们继续往下看。



3、略微小小改进的EMA滤波器(并引入Z变幻)


刚才的学习中我们了解到:滤波器实际上是一个输入信号x,通过滤波器会有一个输出信号y。为了方便,我们进行Z变幻之后,可以表示为X(Z)和Y(Z)。


做了Z变幻之后,他是一个函数关系,如果不做Z变幻,是一个卷积的形式。Z变幻降低了复杂度,只要做相除就可以表示输入输出的关系。滤波器,就是寻找H(Z)这个系统,能让低频信号保持,高频信号滤掉。


补充一下:Z变幻(z-transformation)可将时域信号(即离散时间序列)变换为在复频域的表达式。它将离散系统的时域数学模型——差分方程转化为较简单的频域数学模型——代数方程,以简化求解过程的一种数学工具。Z变幻最具有典型意义的是卷积特性。


由于信号处理的任务是将输入信号序列经过某个(或一系列各种)系统的处理后输出所需要的信号序列,因此,首要的问题是如何由输入信号和所使用的系统的特性求得输出信号。


通过理论分析可知,若直接在时域中求解,输出信号序列等于输入信号序列与所用系统的单位抽样响应序列的卷积和,必须进行繁琐的求卷积和的运算。而利用Z变换的卷积特性则可将这一过程大大简化。只要先分别求出输入信号序列及系统的单位抽样响应序列的Z变换,然后再求出二者乘积的反变换即可得到输出信号序列。这里的反变换即逆Z变换。


在今天的分析中,价格是输入信号,均线是输出信号:所以H(Z)=EMA/price。具体推导过程略过,我们注意看,经过推导的传输函数H(z),首先它的分母上,z的指数是-1,代表1阶,这代表了分母上只有1个Y轴的0点。当z-1=1/(1-alpha)的时候,分母=0.


上图H1滤波器公式中,alpha除以0的时候,这个信号是无穷大,任何信号都可以通过,这就是一阶的定义。如果是Z的平方,就有2个值对应Y轴的0,一阶二阶的区别就是这样。一阶就是一级的滤波器,二阶就是两个滤波器并联或串联。



但是H1滤波器中,由于当Z负1次方=-1时,传输函数等于alpha/(2-alpha ) ,也就是说仍然有低频分量输出。而信号处理中,1-低通滤波器=其对应的高通滤波器,1-H1(z)得到的传输函数,并不能包含所有的高频分量。



再经过一些数学上的技巧,我们可以修正EMA滤波器,使之成为一个合格的低通滤波器——H2,其对应的传输函数是H2(z)。这就是上图,也是后文中要测试的修正EMA指标。这也是一个低通滤波器,特性是分母上的0叫做极点,分子上的0叫做0点,这个滤波器会比较好。


做这个变幻之后,在频率=0.5的位置,幅度就完全=0了,这个特性非常好,这就是后文中测试的修正EMA指标,是性能较好的一阶滤波器。


总之EMA可以等价成一个传输函数,一阶滤波器低通滤波器。频率靠近0的地方,都被保留,远离0的地方,越被滤掉。



4、构造二阶滤波器(从高通到低通)


在这里我们可引入一个概念:


1-高通滤波器 = 低通滤波器。


从频率响应曲线图可以看到,对x轴把曲线翻一下,就是相反的过滤。高通滤波器好设计,容易理解。


二阶滤波器可以表示成两个一阶滤波器相乘的结果。从时域角度讲就是两个滤波器卷积的过程,经过Z变幻,就是相乘的过程。卷积在H(z)变幻里,对应的就是相乘。


上图把两个高通H3(也就是1-H2滤波器)相乘,构造了一个二阶高通滤波器。如果再乘以一个滤波器,就是Z的-3次方,就是三阶滤波器。


为什么我们总想提高阶数呢?因为低通滤波器有一个问题,它下降衰减的特别慢,通过二阶,可以衰减的更快一些,这里说的阶,就是分子Z的指数是几次。


指数越高,下降的越快。但是不能过多阶数,这个滤波器会很复杂。而且,通带会变得不平,也就是靠近截止频率的信号会有些放大。因此,折中来看,可以选择二阶高通滤波器,以保留有用的高频信号。在符合性能要求的情况下,阶数不能太多(后面详细说,我们为什么不构造三阶四阶等高阶滤波器)。总之阶数越高,幅度(频谱)Y的衰减越快,越多地保留需要的信号。



这里我们看到,就是一阶和二阶的效果。


二阶有一个非常好的性质,在上图的幅频特性曲线中可以体现出来


这里可以看到,红线的性能总是比蓝线好——所谓的高通,就是高的保留,低的滤掉,以这个标准看,我们去考虑极限情况(理想中的高通滤波器),可知:在低频的地方,蓝线更多,红线更少。


注意当前的课题:我们在设计一个优秀的高通滤波器,我当然希望低频部分,幅度更小一些,这也就是为什么说红线滤波器的性能更好。


用通信工程专业语言解读:二阶低通滤波器的幅频特性曲线,克服了一阶低通滤波器阻带衰减太慢的缺点。二阶RC低通滤波器的传递函数的分母是频率的二次式多项式,而一阶则是一次式。二阶阻带下降的速度是一阶的两倍。二阶比一阶在过渡带上衰减更快,更接近理想的滤波器。


这就是二阶比一阶优秀的地方。阶数高的滤波器,在低频部分,衰减越快。极限情况是,有一个矩形窗口滤波器,把低频部分全部滤掉。


也就是报告里说的:如果希望滤波效果更好,尽量保留需要的信号,抑制没用的信号,则需要选择合适阶数的滤波器。上述一阶滤波的效果相对较差,通带和阻带间的过渡带太长;阶数越高,滤波器传输函数在截止频率附近衰减得越快



关于截止频率,补充一下知识,是Y轴对应0.707的地方,通信有一个3db损耗,log10(根号2/2),这是一个3db。所以截止频率是在对应的Y轴的位置。


假设一个低通滤波器,x=0处增益等于1。截止频率,就是增益下降到0.707处x的值,也就是x1的位置。广发报告里也说了,这里小幅放大,但没有过分失真,低频输出更为显著。如上图:一个低通滤波器,x=0处增益等于1,截止频率就是增益下降到0.707处x的值,也就是上图x1的位置。



5、通过相频特性曲线,最终确认H5(二阶低通滤波器)


通过刚才的讲解我们知道:高通滤波器性能好,对应的低通滤波器性能也就好。1 - H4 = H5。这里就找到了H5这样一个低通滤波器。1减去一个高通滤波器,就是一个低通滤波器。



然后报告后文就是H2和H5比较,H2是改进版EMA,H5是LLT二阶低通滤波器。


但是H5左边低频部分,有一个小的突起,这就是我们说的阶数为什么不能越高越好:最理想的滤波器是一个方框,实际上一般的滤波器都是衰减过程,是平滑衰减。但是阶数高的时候,是有毛刺的,尾部也有毛刺。所以当阶数很高的时候,毛刺问题,是没办法解决的。滤波器永远是要折中的。


阶数太高,电路复杂,alpha的参数精度要求极高,同样的抖动问题也难以解决。在计算性能充裕的情况下,抖动是最可怕的情况

  

这就引出:滤波器还有第二个非常重要的性能——相频特性曲线。这个难以解释,我们这样解释它:经过一个Z变幻之后,一个信号通过一个滤波器,得到一个输出。可以想象成一个sin函数,经过一个滤波器之后,正常只有一个频率,要么保留,要么过滤掉。滤波器接受,就留下,滤波器不接受,就去掉,任何谐波都可以分解成一个sin函数。



但实际上,经过一个滤波器后,不是这样。上图可以看到。这是我们生活中的一个信号正弦函数。事实上,在经过一个滤波器的时候,sin函数在时轴上会做一些平移,y=sin(ωt+φ),φ分量是决定了sin函数的x轴位置。


在多个信号(多个sin函数)通过的时候,如果大的sin函数平移一个区间,小的sin函数平移了另一个区间,这样就产生了两个频率分量。而理论上大家都应该被平移,但是你平移多,我平移少,最终的信号是很不可靠的


只要用了前文所说的IIR滤波器,都会产生上面所说的群延迟。群可以看成是由各种频率的波叠加构成的一个波包络,群延迟就是包络的延迟,当群延迟为一恒定值时,包络的形状就不会发生变化,无失真;反之,则各个频率的波延迟不同,组成的波包络形状发生变化,造成失真。



上图的横轴X轴还是频率(以0.5结束),但是纵轴Y轴变成了相位,这就是相频特性曲线。这个图上反映出群延迟问题。


我们看到:红线的延迟响应,比蓝线好一些。当频率小的时候,比如在0.02左右,几乎没有什么延迟,当频率慢慢增高的时候,也基本上和蓝线一样。


不同频率延迟不一样,y轴相位就是刚才我们绘制的φ分量。从LLT研报的图片上看到,群延迟会好一些。如报告所说:修正EMA指标的低频分量具有较高的延迟。对于0.05频率位置,修正EMA指标在极低频附近具有约19个交易日的延迟。与此同时,二阶低频滤波后的低延迟趋势线在极低频附近延迟接近于零,截止频率以内的延迟也远低于修正EMA指标。


总结一下:


通过研报分析,H5的幅频响应曲线会好一些(之前一直在分析这个问题,它是个比一阶性能更高的滤波器)。通过相频特性曲线,H5滤波器的表现也要好一些。所以就用它了,替代传统的均线MA和EMA试试看,是否能够有效跑赢指数。


最后工作就是调这个H5,也就是LLT滤波器的参数了,LLT只有一个参数,alpha,后面的就是在找这个alpha。我们通过图片可以直观感受到,LLT和K线趋势的走势贴合更紧密一些。


Alpha = 2/d+1,d是周期参数,你可以选择20 30 60类似的参数构建滤波器。或者直接去变化alpha,alpha越小,延迟越高,趋势线的平滑性也越好。例如,当alpha=0.05时,EMA指标的计算天数大约为39个交易日,延迟同样取一半,即存在大约20个交易日的延迟。


但是正如之前我们推理的过程:LLT的低延迟特性决定了它的拐点还是很及时的。参数对其影响并不严重。总之:alpha越小,延迟越高,平滑性能越好。因为alpha越小,d越大,越平滑,LLT它的低通特性越好,越容易把低频特性保留下来。


关于滤波器,我们可以总结一下:实际上MA和EMA相比,也是有很大差别的,EMA的alpha可以控制,特性容易获知。MA也是滤波器,用ARMA过程也是可以解释的。MA是马氏过程,EMA是AR过程。准确说EMA是AMRA过程。卡尔曼滤波也是从ARMA推导出来的。


刚才所说的马氏(MA)过程,只和输入有关, 比如MA均线,只和周期内的收盘价(输入)有关,而和上一周期的MA均线值无关。而AR过程,就是EMA,不仅和今天的收盘价有关,还和昨天的EMA有关,所以AR不仅与输入有关,而且和上一周期的输出也有关。


AR模型反应经济变量当前值与过去值的关系,MA模型反应经济变量当前值与过去值误差项的关系。ARMA是两者结合的模型。


LLT是否必须由专业数学软件编写模型呢?其实不是这样,经过上文提过的Z变幻,LLT的计算相当简单:




接下来的研报,各位都可以轻松看懂了,就是讲解了LLT的各种优势,这里我们总结如下:


1、延迟小,贴合趋势:



2、性能衰减小:



广发的报告认为,传统均线的性能因为交易拥挤,出现下降,LLT情况好很多,大部分参数依然可以带来较高盈利。


3、参数赢面较大:


显然和其他均线相比,LLT在d周期大幅度变化的时候,表现更加稳定,我们知道均线最大的不确定性就是最佳参数漂移(每个时间段的最佳参数不同),所以LLT很大程度上避免了这个问题。



上图是标准普尔综指在 1860 年 1 月至 2014 年 12 月共 1860 个月度回报率数据进行历史回测。作者针对六个不同的基于均线指标构建的择时规则进行了样本外回测,在这个150年的超大样本测试中,均线最佳参数始终在变化,不同阶段不同参数表现差异很大。可想而知参数的影响力和不稳定性。


4、我们初步测试结果:


我们测试了国内A股,上证指数,2000年~2017年,日线,在MA WMA EMA AMA LLT这几种均线的性能。常规均线的周期参数,从10~200漂移,AMA的ER周期参数从5~24漂移。


交易规则是切线斜率>0,买入,<0,卖出。单向做多不做空。固定资金额度交易(浮赢不加仓)。千分之1手续费。

我们做此测试的目的是测试各种均线的参数稳定性,换句话也就是测试参数赢面。结果如下:



总的来看,LLT的表现(切线斜率为规则)的测试中,性能是可以令人满意的,在市场发生反转的情况下,模型运行更加贴合趋势,发出信号数量大,交易激进,效果更好。


你可以轻松构建自己的LLT模型,去测试股票指数的择时交易性能,试图用这种模型,替换传统的均线模型。