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矩阵的逆到底有什么用?
本文来源:超级数学建模

首先,我们先来看看这个数的倒数:


·倒数


其实矩阵的逆矩阵也跟倒数的性质一样,不过只是我们习惯用A-1表示:


问题来了,既然是和倒数的性质类似,那为什么不能写成1/A


其实原因很简单,主要是因为矩阵不能被除。不过 1/8 倒可以被写成 8-1


矩阵的逆倒数还有其他相似之处吗?


  • 当我们将一个数乘以它的倒数我们得到1。


8 × (1/8) = 1


  • 当一个矩阵乘以逆时,我们得到了单位矩阵(而单位矩阵,其实也就是矩阵中的“1”


A × A-1 = I


  • 而此时我们将矩阵的逆放在前面,很明显,结果还是一样的


(1/8) × 8 = 1

A-1 × A = I


模友:超模君,刚才讲的“单位矩阵”是什么意思,你还没说明呢


超模君:别急,慢慢来!关于单位矩阵,其实就是一个相当于数字“1”的矩阵:


·3x3的单位矩阵


那怎样的矩阵才是单位矩阵呢?

①它是“正方形”(行数与列数相同);

②它的对角线上的数字都是1,其他地方都是0。


  • 那问题来了,我们该如何去计算矩阵的逆呢?



换句话说:交换a和d的位置,将负数置于b和c的前面,并将所有事物除以行列式(ad-bc)


举个栗子:



不过该如何去判断这是正确的答案呢?


那这个时候就要用到我们最开始讲的公式:


A × A-1 = I


所以,让我们检查一下,当我们将矩阵乘以矩阵的逆时,会是怎样的?



嘿嘿嘿!我们最终得到了单位矩阵! 


留个作业:试试这样,能不能得到单位矩阵呢?



其实,在了解矩阵的过程中,总是会有个疑问:为什么我们需要矩阵的逆呢?

其主要原因是:矩阵没办法被除。(这个时间各位模友可以回想一下:是不是从来都没看过矩阵被除


换句话说,矩阵根本就没有被除的概念


而矩阵的逆,正好是被我们用来解决“矩阵除法”的问题。


各位模友,假如我们没有“除法”这个规则,那当有人问你如何把10分苹果平分给两个人


想到怎么解答没?


那我们是不是可以采取2的倒数(1/2=0.5)来计算,那答案就很清晰啦:


10 × 0.5 = 5


也就是每个人5个苹果


那我们是不是也可以将同样的方法应用到矩阵上呢?


那故事就这么开始了,我们知道矩阵A矩阵B,并且想要找到矩阵X


XA = B


那最好的方法就是直接除以A(得到X = B / A),但事实上我们不能直接除以矩阵A。


但是我们却可以在公式两边都乘以AA-1=I:


XAA-1 = BA-1


因为我们都知道AA-1=I,所以也就能得到


XI = BA-1


而此时单位矩阵I我们是可以直接去掉的,也就能得到你:


X = BA-1


所以呢,此时我们只要知道怎么计算A-1,那就可以直接算出矩阵X(而对于计算A-1早已解决)


丢个栗子

有一个几个家庭组团出去旅行,出发的时候是乘坐大巴,每位儿童3元,每个大人3.2元,一共花费了118.4元。


在回程时,他们选择乘坐火车,每名儿童3.5元,每名成人3.6元,总计135.20元。


那问题来了,这里边有多少个小孩和大人呢?


虽然这道题用线性方程组来解很简单,但这次我们尝试用矩阵思维来解答。


首先,我们设置好矩阵(此时要注意好矩阵的行和列是否正确)



那我们根据公式:


XA = B


要解决这个问题,那也就是得到矩阵A的倒数:



现在我们可以使用以下方法来解决:


X = BA-1



结果很明显,一共有16个孩子22个大人


  • 那问题来了矩阵的逆到底有什么用?


事实上,像这样的计算其实非常有利于工程师设计建筑物视频游戏和计算机动画等许多地方。


此外,它也是解决线性方程组的一种方法。


虽然求矩阵的逆,只要打开MATLAB, 输入inv(A)


但超模君这里就要插一句话:

虽然这个过程是由计算机完成,但我们还是有必要去了解公式,因为这正是数学的美妙之处!