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【量化策略】类凯利策略和反凯利策略

相信很多人听说过“加倍”策略:一个人带5000块进入赌场,参与1:1的赌博。他可以采取这样的策略:第一次押一块。如果输了,第二次押两块;如果再输,第三次押四块。如此往复下去,只要赢一次,那么他的总赢利就是一块。这样一个回合完成之后,他再从一块押起,开始另一个回合。他赔掉本钱的可能性只有一种:从1块开始,连续输12次。当然这是一个极小概率事件,那么他赢钱的概率就非常地大了。

据说,当年法国Martingale村的人喜欢用这种策略参与赌博,这种策略后来就被叫做Martingale策略了。从理论上推断,那里的人们倾向于相信1、输多次之后赢的概率会增大;2、即便1不成立,只要赌足够多次,这种策略会产生正的收益预期。后来的学者指出,随机事件的预期值不会因已产生的结果而改变,同时Martingale策略也不能改变你的总收益预期:你只不过是用输大钱的小几率来交换赢小钱的大几率而已。再后来,学者们就把收益预期为零的序列叫做Martingale序列了,那是另一个话题了。

E.O.Thorp 在《The Mathematics of Gambling》中详细分析了Martingale策略。计算得出,如果你有2100块,用这一策略去参加轮盘赌(输赢比例为18:20),如果你把赢利目标定为30块,你达到目标的几率是95%,输掉全部本钱的几率是5%。这一策略没有改变赌场赢钱的预期,索普进一步指出,任何别的策略都不会把一个对你不利的赌博变成对你有利的。

如果赌场不设押注上限,而你的确有无限多的赌资。那么你用Martingale策略来赢得整个赌场的几率可以接近1。假设赌场总资产是一亿,你第一次就押一亿,如果输了押两亿,一路加码,如果你有两千亿可押,你赢得整个赌场的几率就是99.9%了。这显然是个不现实的图景,不过从中我们却可以看到Martingale策略和凯利策略的相对应之处。

Vince曾经做过这样一个测试:给所有受测者1000块钱,让他们参与赢赔比率为6:4的游戏共100次。即每押一块钱,赢回另一块的几率是60%,输掉这一块的几率是40%。在这一个明显偏向于受测者的赌博结束后,40位受测者中只有两位最终赢了钱。这一结果的原因就在于,受测者不懂得凯利策略,他们不知道每次压注比例如果大于凯利比例若干百分比的时候(Thorp有具体的计算),赔光的几率就接近1了。对受测者而言,最差的策略就是百分之百押注,赢了再百分之百押。一百次下来,赢钱的几率是0.6的一百次方,虽然可能赢的钱数更是个天文数字,那只是天上的月亮,你是拿不到的;输掉这1000块钱的几率是1-0.6^100,必输无疑。

现在我们设想一下,如果Vince希望通过这个游戏来赚钱,那么受测者采用Martingale策略对Vince来说是最有利的,受测者采用凯利策略对Vince来说是最差的。再进一步,如果每次下注由Vince来决定下注比例,那么他就变成了一个去赌场参与不利于他的游戏的赌徒了。这时候,他的最优策略是Martingale策略(除非他拒绝参加),他的最差策略是Kelly策略(不利的赢利预期下,凯利策略是最差策略。似乎以前没有人强调过这一点)。

我们看到,从这种意义上说,Martingale策略是反Kelly策略。这样一来,我们可以把所有的策略划为两类:Martingale类策略和Kelly类策略。

对凯利系数进行适当调整的策略可以归为凯利类策略。哪些策略可以划为Martingale类的呢?在股市上,有一种不看基本面,越跌越买的策略:10块钱买1000股,如果跌到9块再买2000股,跌到8块再买4000股,如此下去,只要有机会涨1块钱,你就赚钱了。显然这是个Martingale策略,它的特征是用输大钱的小几率来交换赢小钱的大几率,并不改变你的预期收益率。

上述策略稍微加以变形,就成了买跌策略:不看基本面,买市场上最便宜的5只股票,一年后只要它们不再是最便宜的了,你就赚到了钱或赚到了股。这些策略表面上看是选股策略,实际上是仓位策略。它仍然是用输大钱的小几率来交换赢小钱的大几率,并不改变你的预期收益率。不过,当学者们对历史记录做统计分析的时候,可能发现这些策略赢钱的几率竟然这么大?为什么呢?因为它们输大钱的那个小小的几率被统计数据忽略了!为什么会有小市值效应?为什么会有低市赢率效应?可能很大程度上与此有关。

通过本文,我们知道了,凯利策略对正预期的游戏是最优策略,对负预期的游戏是最差策略。所以最重要的,还是要找到正预期的品种。借用巴菲特的一个比喻:要找的湿的雪和平缓的下坡才能滚雪球。如果你在沙凹里向上推沙子,任何策略也不会让你成功。