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【量化模型】Black-Litterman模型介绍
本文来源于清华大学量化协会alpha学术小组经管学院@llleafer同学的整理。

Black-Litterman模型是基于MPT基础上的资产配置理论。BL模型在隐含市场收益率和分析师主观预测信息的基础上,成功解决了MPT模型中假设条件不成立,参数敏感等问题。

MPT模型

我们先简单回顾一下Markowitz的MPT模型:给定风险水平下的预期收益最大化,也可以是其对偶命题,给定预期收益 水平下的风险最小化。

min  W^{T}\Sigma W
s.t. W^{T} r=r_{p}  或者 max W^{T}r s.t. W^{T}\Sigma W=\sigma _{p}^{2}

缺点:

  1. 假设不成立:MPT理论假设为投资者一致且理性(即投资者对预期收益、标准差和风险资产相关性具有一致预测;投资者行为遵循最优化原则,即投资者理性)。现实中显然不成立。
  2. 无仓位限制:在无卖空限制条件下,MPT模型经常导致在一些资产上有很大的空头头寸,而实际上大量投资者具有卖空约束。中国市场对卖空进行限制,模型经常导致在某些资产上权重为零,而在另一些资产上权重过大,即出现资产配置过于集中的现象。
  3. 参数敏感:对输入参数如预期收益率作小幅度变化,可能导致模型结果发生剧烈变化。

改进:

高盛的Fisher Black和Robert Litterman在研究中发现,对组合中德国债券预期报酬率做0.1%小幅修正后,竟然该类资产的投资比例由原来的10.0%提高至55.0%。做法:加入投资者自己的观点,而且有一定的置信水平。二人提出了BL模型:使用Bayes定理(条件概率),构建收益时通过一定方式对市场隐含收益率与主观预期收益的加权平均。

B-L模型

max E[R]=[(\tau \Sigma )^{-1} +P^{T} \Omega ^{-1}P]^{-1}  [(\tau \Sigma )^{-1} \Pi +P^{T} \Omega ^{-1} Q]

s.t. 风险约束,预算约束,Beta约束,做空约束

重要参数解释:

E[R]:新的加权后的收益向量(n*1列向量);

\tau :比例系数(常数);

P:涉及主观看法资产矩阵(k*n矩阵);

\Omega :看法置信度矩阵(k*k矩阵);

\Pi :隐含均衡收益率向量(N*1列向量);

Q:看法向量(k*1列向量);

那实际情况是如何使用的?

  1. 从市场观察到的价格、市场权重去反推出市场隐含均衡收益率(市场均衡配置):
  2. \Pi =\delta \Sigma W^{m}  其中,根据Satchell and Scowcroft(2000)的方法,\delta 表示单位风险的超额收益,\delta =(E(r)-r_{f} )/\sigma ^{2}
  3. Σ是协方差矩阵;
  4. 根据Litterman的文献,\Omega =diag(P(\tau \Sigma )P^{T});
  5. 假定┏接近于零,实际取0.05,此值越小预期收益越远离历史情况,接近主观预期;或者可以用K/N计算,K为有主观分析的种类数,N为总种类数。

举例

P,Q举例如下: P是涉及看法的资产矩阵,是k×n矩阵,k表示几种看法,n表示资产数量。采用Satchell and Scowcroft(2000)方法,具体构造以下三个看法来例举阐述。

1)A资产绝对收益为10%,信心水平50%; 
2)B资产比C资产收益率高5%,信心水平60%; 
3)D、E资产比F、G、H资产收益高2%,信心水平90%

假定资产数量为10个,A、B、C、D、E、F、G、H依次排序为前八个,则P矩阵如下:

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0&1 & -1 & 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
0& 0& 0& \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} &-\frac{1}{3} &0 & 0
 \end{bmatrix}\quad

第一行代表第一个看法,这是一种绝对方式表达,涉及A资产,看法正面为1。第二行是相对看法, 涉及A、B两资产,看法正面为1;负面为-1。第三行涉及多个资产,看法为正面的之各为1;看法为 负面的之和为-1。

Q: 看法(views) 数量k=3,列向量为(10%,5%,2%)的转置。

其他Notes

  1. BL优化后确实战胜市场均衡配置;
  2. BL模型同样也存在模型上的缺陷,需要继续改进。历史数据计算出来的协方差矩阵在长期内可能不能良好刻画出短期关系,需要动态调整;分析师主观预期(看法)信心水平的设定具有很大的主观 随意性,在方法上还存在众多分歧; 
  3. BL模型比较符合目前国内基金投资真实市场环境,如关注分析师主观预期,存在投资仓位上下限规定等; 
  4. BL模型适用于行业资产配置,而一般不配置具体的投资,倾向区分大类资产;但有的地方也说可以用在个股组合中; 
  5. 达里奥桥水基金的全球配置更关注风险因子,而非大类。股票中的能源股和部分大宗商品息息相关,从而分配到相同的一类中。是不同于MPT和BL的资产配置理论